Limitivi Notevoli
Limitivi Notevoli
Abbiamo già accennato che spesso i limiti di funzioni si presentano sotto forme che vengono chiamate di “indecisione” (forme indeterminate) poiché non esistono teoremi che permettano di calcolarli direttamente, ma è necessario applicare trasformazioni anche complesse per arrivare al risultato.
Per la risoluzione di molte forme indeterminate si ricorre all’utilizzo dei cosiddetti limiti notevoli (casi particolari di forme indeterminate).
Il calcolo dei limiti, ad eccezione del caso delle funzioni elementari in punti del loro dominio, può presentarsi un problema complesso. Ci sono alcuni limiti detti notevoli perché fondamentali nelle applicazioni dell’analisi e ci sono di aiuto per risolvere i limiti che si presentano in forma indeterminata.
Primo limite notevole
Dimostrazione
| OSSERVAZIONELa misura dell’angolo è indicata in radianti. Qui si vede “praticamente” perché è più utile utilizzare i radianti, invece dei gradi. Infatti, se l’angolo x, che, nella figura riportata sotto, coincide con l’angolo AOP, viene indicato in radianti, allora anche l’arco di circonferenza AP ha la stessa misura x; inoltre il segmento PH coincide proprio con senx. |
Secondo limite notevole
Non dimostriamo questo limite ma ci limitiamo a ricordare che è una forma indeterminata del tipo 1∞.
| NOTA STORICA La lettera e, che prende il nome di numero di Nepero, dal matematico scozzese John Napier, è un numero irrazionale, trascendente e il suo valore approssimato per difetto è 2,71828182845. La prova della trascendenza di questo numero è dovuta a Hermite (1873), mentre già Eulero (1737) aveva dimostrato che era irrazionale, ecco il motivo per cui questo numero si indica con la lettera e. É interessante osservare che, assieme a π, questo è uno dei pochi numeri trascendenti usati nella pratica comune e che hanno un simbolo speciale. Come curiosità segnaliamo che mentre è noto che eπ è un numero trascendente, non si sa ancora se πe sia razionale o irrazionale. |
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