Geometria delle passioni Remo Bodei – e la cicloide , matematica

 

Geometria delle passioni universaleeconomica

Paura, Speranza, Felicita: Filosofia E Uso Politico

In breve

Le passioni, a lungo condannate come fattori di turbamento, oggi si puntano a controllare dal punto di vista dell’individuo, mentre si mirano a forgiare come strumenti di dominio politico, dal punto di vista sociale. L’opposizione tra ragione e passione fa parte di una costellazione di senso culturalmente condizionata.

Il libro

A lungo le passioni sono state condannate come fattori di turbamento o di perdita temporanea della ragione. Diverse strategie sono state cosi elaborate per estirparle, temperarle o addomesticarle. Ma, mentre dal punto di vista dell’individuo, si mira all’autocontrollo, dal punto di vista della societa, si tende piuttosto a forgiare, per loro tramite, strumenti di dominio politico. In quanto relativamente fisse nei loro obiettivi e vischiose nella loro composizione, esse erano considerate nel passato suscettibili sia di una rigorosa sistemazione filosofica, sia di un adeguato trattamento politico. Si direbbe invece che oggi siano non soltanto inclassificabili, svuotate di qualsiasi attributo di intrinseca intelligibilita, ma anche soverchiate dai “desideri” (passioni orientate verso mete future, incommensurabili o difficilmente calcolabili). Attraverso un’analisi di ampio respiro teorico e storico, questo libro mostra come l’opposizione tra ragione e passioni indica il fallimento di ogni etica e di ogni politica che continuino a oscillare tra norme repressive e atteggiamenti lassistici. Nella sua struttura, il volume e concepito in termini “geometrici”: in forma di un’ellisse disegnata secondo coppie di “fuochi”. Paura e speranza, nella loro tensione complementare, ne compongono i nuclei generatori. Da esse -quasi un’archeologia concettuale delle passioni e delle virtu -si snoda il percorso di ricerca, che attraversa anche “valichi” del pensiero filosofico (in particolare Spinoza, nella sua polemica contro gli stoici e Descartes’ e alcuni luoghi esemplari della teoria politica (in particolare il giacobinismo francese).

http://www.feltrinellieditore.it/opera/opera/geometria-delle-passioni-1/

Il fascino dell’obbedienza – controappuntoblog.org

Quella curva arcuata, sono piu’ di cinquant’ anni che mi venne in mente il

descriverla, e l’ammirai per una curvita’ graziosissima per adattarla agli archi di

un ponte.  [Galileo Galilei]

Cicloide (Cycloid)

a cura di Chiara Baldovino

Cicloide (Cycloid)

La cicloide, in latino cycloidis o trochoidis (nome greco per ruota), in francese roulette, è la curva descritta da un punto fissato su una circonferenza che ruota (senza scivolare) sopra una retta. La retta viene detta direttrice, mentre la circonferenza prende il nome di generatrice.
La distanza tra due punti di contatto consecutivi della circonferenza generatrice con la direttrice è pari alla lunghezza della circonferenza.
L’aspetto complessivo di una cicloide è quello di una serie di archi poggianti sulla retta.

Fin dall’antichità era noto ai matematici che molte curve interessanti, tra cui la cicloide, possono essere definite e disegnate mediante semplici strumenti meccanici.
Tolomeo (circa 200 a. C.) sfruttò le cicloidi molto ingegnosamente per descrivere il movimento dei pianeti.
Padre Mersenne nel 1615 definì la cicloide come luogo descritto da un punto di una ruota che rotola sul terreno.
Prima del 1634 Roberval dimostrò, usando sostanzialmente il metodo degli indivisibili, che l’area delimitata da un arco della curva è uguale a tre volte l’area del cerchio generatore.

Nel 1638 Roberval, quasi contemporaneramente a Fermat e Descartes, riuscì anche a trovare il modo di tracciare la tangente alla curva in un punto qualsiasi; Roberval non pubblicò le sue scoperte relative alla cicloide, che egli chiamava trochoide, forse perché intendeva porre questioni del genere ai candidati che aspiravano alla sua cattedra.
Nel frattempo anche Torricelli si era interessato alla cicloide e nel 1644 pubblicò il De parabole in appendice alla quale presentava sia la quadratura della cicloide che la costruzione della tangente, senza però accennare minimamente al fatto che Roberval aveva ottenuto questi risultati prima di lui cosicchè nel 1646 Roberval accusò Torricelli di plagio.
La cicloide, oggetto anche delle meditazioni notturne di Blaise Pascal (1623-1662) che la descrisse nel suo trattato Histoire de la roulette (1658), fu definita la “bella Elena” della geometria per le dispute e le gare matematiche a premi come era nell’usanza dei tempi, che nacquero intorno ad essa.

Le dimensioni di una cicloide sono strettamente legate a quella della circonferenza generatrice:

1. L’altezza massima dell’arco è pari al suo diametro.
2. La lunghezza di un arco di cicloide è 4 volte il diametro.
3. La base sottostante l’arco è pari alla circonferenza.
4. L’area compresa fra un arco di cicloide e la base è 3 volte l’area del cerchio.

Oggi si preferisce definire roulette o rolletta una curva descritta da un punto solidale con una curva generica che rotoli senza strisciare su un’altra curva fissa; la cicloide è dunque un caso particolare di roulette che si ottiene quando la curva fissa é una retta e la curva che rotola é una circonferenza.

Quando sia la curva mobile che la curva fissa sono circonferenze, un punto della circonferenza che rotola descrive

  • una roulette epicicloidale o epicicloide se la circonferenza rotola all’esterno della circonferenza fissa;
  • una roulette ipocicloidale o ipocicloide se la circonferenza rotola all’interno della circonferenza fissa.

Le ipocicloidi e le epicicloidi sono curve che hanno numerose e interessanti proprietà geometriche.

La rappresentazione parametrica di un’epicicloide generata da una circonferenza di raggio a che rotola su una circonferenza di raggio b è data da

dove t è l’angolo formato dall’asse Ox con il raggio ON della circonferenza immobile con N punto di tangenza delle due circonferenze, mentre la circonferenza mobile (nera) rotola su quella immobile (rossa) e il punto M disegna l’epicicloide.
Ad ogni angolo t, corrisponde un angolo .

La curva epicicloide è composta da una serie di archi ciascuno dei quali corrisponde alla rotazione completa del cerchio mobile, cioè ad un incremento dell’angolo φ di 2π e dell’angolo t di . Gli estremi di questi archi corrispondono ai valori con p intero.
Per poter ripassare dal punto iniziale K della curva è necessario e sufficiente che un estremo di questi archi coincida con K e quindi che esistano due interi p e q che soddisfino la condizione
vale a dire anche . Tali numeri p e q esistono quando e solo quando a e b sono commensurabili vale a dire solo quando il rapporto é un numero razionale: l’epicicloide è una curva chiusa solo quando questa condizione é verificata; in caso contrario la curva non è chiusa e una volta abbandonato il punto K non vi ritorna mai.

Notevole è il caso particolare in cui b=a cioè i raggi delle due circonferenze sono uguali: si ha una curva composta da un solo ramo ossia una sola cuspide, detta cardioide.
Se le cuspidi sono due si ha la curva detta nefroide.

Le equazioni dell’ipocicloide generata da una circonferenza di raggio a che rotola su una circonferenza di raggio b possono essere dedotte da quelle dell’epicicloide sostituendo a con (-a)

Anche qui se è un numero razionale, l’ipocicloide è una curva chiusa, mentre se è un numero irrazionale la curva non si chiude mai. Inoltre se é un numero intero positivo allora la curva ha cuspidi.

Come caso particolare delle ipocicloidi si possono ricordare i seguenti:
1. Se il raggio del cercho immobile è il doppio del cerchio mobile allora il punto M descrive nel suo moto il diametro del cerchio immobile .
2. se b=4a l’ipocicloide è composta di quattro rami e si chiama asteroide (Si veda la figura sopra).

Tolomeo nei 13 libri dell’Almagesto sviluppava la sua teoria sul moto dei pianeti basata su movimenti epicicloidali. Era una costruzione macchinosa, ma consentiva di descrivere con precisione i moti dei pianeti e fu spazzata via solo dalla rivoluzione di Keplero.

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/Set_09/Cicloide.htm

 

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